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2019_2020学年新教材高中数学第六章*面向量及其应用6.1*面向量的概念学案新人教A版必修第二册

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6.1 *面向量的概念

考点 *面向量的相关概念 *面向量的几何表示 相等向量与共线向量

学*目标 了解*面向量的实际背景,理解*面向量 的相关概念 掌握向量的表示方法,理解向量的模的概 念 理解两个向量相等的含义以及共线向量 的概念

核心素养 数学抽象 数学抽象 数学抽象、逻辑推理

问题导学 预*教材 P2-P4 的内容,思考以下问题: 1.向量是如何定义的?向量与数量有什么区别? 2.怎样表示向量?向量的相关概念有哪些? 3.两个向量(向量的模)能否比较大小? 4.如何判断相等向量或共线向量?向量→AB与向量→BA是相等向量吗?
1.向量的概念及表示 (1)概念:既有大小又有方向的量. (2)有向线段 ①定义:具有方向的线段. ②三个要素:起点、方向、长度. ③表示:在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以 A 为起点、B 为终点的有向线段 记作→AB. ④长度:线段 AB 的长度也叫做有向线段→AB的长度,记作|A→B|. (3)向量的表示

■名师点拨 (1)判断一个量是否为向量,就要看它是否具备大小和方向两个因素.

(2)用有向线段表示向量时,要注意→AB的方向是由点 A 指向点 B,点 A 是向量的起点,点 B 是向量的终点.
2.向量的有关概念 (1)向量的模(长度):向量→AB的大小,称为向量A→B的长度(或称模),记作|→AB|. (2)零向量:长度为 0 的向量,记作 0. (3)单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量. 3.两个向量间的关系 (1)*行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量.若 a,b 是*行向量,记 作 a∥b. 规定:零向量与任意向量*行,即对任意向量 a,都有 0∥a. (2)相等向量:长度相等且方向相同的向量,若 a,b 是相等向量,记作 a=b. ■名师点拨 (1)*行向量也称为共线向量,两个概念没有区别. (2)共线向量所在直线可以*行,与*面几何中的共线不同. (3)*行向量可以共线,与*面几何中的直线*行不同.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量,长度大的向量较大.( ) (2)如果两个向量共线,那么其方向相同.( ) (3)向量的模是一个正实数.( ) (4)向量就是有向线段.( ) (5)向量→AB与向量→BA是相等向量.( ) (6)两个向量*行时,表示向量的有向线段所在的直线一定*行.( ) (7)零向量是最小的向量.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)×
已知向量 a 如图所示,下列说法不正确的是( )

A.也可以用→MN表示

B.方向是由 M 指向 N

C.起点是 M

D.终点是 M

答案:D

已知点 O 固定,且|→OA|=2,则 A 点构成的图形是( )

A.一个点

B.一条直线

C.一个圆

D.不能确定

答案:C

如图,四边形 ABCD 和 ABDE 都是*行四边形,则与→ED相等的向量有________.

答案:A→B,D→C

向量的相关概念 给出下列命题:
①若→AB=→DC,则 A,B,C,D 四点是*行四边形的四个顶点; ②在?ABCD 中,一定有→AB=→DC; ③若 a=b,b=c,则 a=c. 其中所有正确命题的序号为________. 【解析】 A→B=D→C,A,B,C,D 四点可能在同一条直线上,故①不正确;在?ABCD 中, |A→B|=|→DC|,→AB与→DC*行且方向相同,故→AB=→DC,故②正确;a=b,则|a|=|b|,且 a 与 b 的方向相同;b=c,则|b|=|c|,且 b 与 c 的方向相同,则 a 与 c 长度相等且方向相同,故 a =c,故③正确. 【答案】 ②③
(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小;②有方向.两个条件缺一不可. (2)理解零向量和单位向量应注意的问题 ①零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等; ②单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.
1.下列说法中正确的是( ) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小

解析:选 D.不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故 A,B 不正确;向量的大小即 为向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故 C 不正确;向量的模是一个数量,可 以比较大小.故 D 正确.
2.下列说法正确的是( ) A.向量→AB∥→CD就是A→B所在的直线*行于→CD所在的直线 B.长度相等的向量叫做相等向量 C.零向量与任一向量*行 D.共线向量是在一条直线上的向量 解析:选 C.向量→AB∥→CD包含A→B所在的直线与→CD所在的直线*行和重合两种情况,故 A 错; 相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故 B 错;C 显然正确;共线向量可以是在一条 直线上的向量,也可以是所在直线互相*行的向量,故 D 错.
向量的表示 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为 1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1)→OA,使|O→A|=4 2,点 A 在点 O 北偏东 45°方向上; (2)→AB,使|A→B|=4,点 B 在点 A 正东方向上; (3)→BC,使|B→C|=6,点 C 在点 B 北偏东 30°方向上. 【解】 (1)由于点 A 在点 O 北偏东 45°方向上,所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小方 格数与纵向小方格数相等.又|→OA|=4 2,小方格的边长为 1,所以点 A 距点 O 的横向小方格 数与纵向小方格数都为 4,于是点 A 的位置可以确定,画出向量→OA,如图所示. (2)由于点 B 在点 A 正东方向上,且|→AB|=4,所以在坐标纸上点 B 距点 A 的横向小方格 数为 4,纵向小方格数为 0,于是点 B 的位置可以确定,画出向量A→B,如图所示. (3)由于点 C 在点 B 北偏东 30°方向上,且|→BC|=6,依据勾股定理可得,在坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3,纵向小方格数为 3 3≈5.2,于是点 C 的位置可以确定,画出 向量→BC,如图所示.

用有向线段表示向量的步骤
已知飞机从 A 地按北偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 B 地,再从 B 地 按南偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 C 地,再从 C 地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达 D 地.
(1)作出向量→AB,→BC,→CD,→DA; (2)问 D 地在 A 地的什么方向?D 地距 A 地多远? 解:(1)由题意,作出向量→AB,→BC,→CD,→DA,如图所示.
(2)依题意知,三角形 ABC 为正三角形,所以 AC=2 000 km.又因为∠ACD=45°,CD=1 000 2,所以△ACD 为等腰直角三角形,即 AD=1 000 2 km,∠CAD=45°,所以 D 地在 A 地 的东南方向,距 A 地 1 000 2 km.
共线向量与相等向量 如图所示,O 是正六边形 ABCDEF 的中心,且O→A=a,→OB=b,在每两点所确定的向
量中.

(1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些? (2)与 a 共线的向量有哪些? 【解】 (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有O→D,B→C,A→O,F→E. (2)与 a 共线的向量有E→F,B→C,O→D,F→E,C→B,D→O,A→O,D→A,A→D.
1.[变条件、变问法]本例中若→OC=c,其他条件不变,试分别写出与 a,b,c 相等的向 量.
解:与 a 相等的向量有→EF,→DO,→CB;与 b 相等的向量有D→C,E→O,F→A;与 c 相等的向量有→FO, →ED,→AB.
2.[变问法]本例条件不变,与→AD共线的向量有哪些? 解:与A→D共线的向量有→EF,→BC,→OD,→FE,→CB,→DO,→AO,→DA,→OA.
共线向量与相等向量的判断 (1)如果两个向量所在的直线*行或重合,那么这两个向量是共线向量. (2)共线向量不一定是相等向量,但相等向量一定是共线向量. (3)非零向量的共线具有传递性,即向量 a,b,c 为非零向量,若 a∥b,b∥c,则可推出 a∥c. [注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断,要注意直线*行或重合两种情况.
1.已知向量→AB与向量→BC共线,下列关于向量→AC的说法中,正确的为( ) A.向量→AC与向量→AB一定同向 B.向量→AC,向量→AB,向量→BC一定共线 C.向量→AC与向量→BC一定相等 D.以上说法都不正确 解析:选 B.根据共线向量的定义,可知→AB,→BC,→AC这三个向量一定为共线向量,故选 B. 2.如图,四边形 ABCD 和 BCED 都是*行四边形,在每两点所确定的向量中:

(1)写出与B→C相等的向量; (2)写出与B→C共线的向量. 解:(1)因为四边形 ABCD 和 BCED 都是*行四边形,所以 BC∥AD∥DE,BC=AD=DE,所以 →BC=→AD=→DE.故与→BC相等的向量为A→D,D→E. (2)与B→C共线的向量共有 7 个,分别是A→D,D→E,D→A,E→D,A→E,E→A,C→B.

1.如图,在?ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,CD 的中点,图中与A→E*行的向

量的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:选 C.图中与A→E*行的向量为→BE,→FD,→FC共 3 个.

2.下列结论中正确的是( )

①若 a∥b 且|a|=|b|,则 a=b;

②若 a=b,则 a∥b 且|a|=|b|;

③若 a 与 b 方向相同且|a|=|b|,则 a=b;

④若 a≠b,则 a 与 b 方向相反且|a|≠|b|.

A.①③

B.②③

C.③④

D.②④

解析:选 B.两个向量相等需同向等长,反之也成立,故①错误,a,b 可能反向;②③正

确;④两向量不相等,可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等.

3.已知 O 是正方形 ABCD 对角线的交点,在以 O,A,B,C,D 这 5 点中任意一点为起点,

另一点为终点的所有向量中,写出:

(1)与B→C相等的向量;

(2)与O→B长度相等的向量;

(3)与D→A共线的向量.

解:画出图形,如图所示.

(1)易知 BC∥AD,BC=AD,

所以与B→C相等的向量为→AD.

(2)由 O 是正方形 ABCD 对角线的交点知 OB=OD=OA=OC,

所以与O→B长度相等的向量为→BO,→OC,→CO,→OA,→AO,→OD,→DO.

(3)与D→A共线的向量为→AD,→BC,→CB.

[A 基础达标]

1.下列命题中,正确命题的个数是( )

①单位向量都共线;

②长度相等的向量都相等;

③共线的单位向量必相等;

④与非零向量

a

a 共线的单位向量是|a|.

A.3

B.2

C.1

D.0

解析:选 D.根据单位向量的定义,可知①②③明显是错误的;对于④,与非零向量 a 共

线的单位向量是|aa|或-|aa|,故④也是错误的.

2.下列说法正确的是( )

A.若 a 与 b *行,b 与 c *行,则 a 与 c 一定*行

B.终点相同的两个向量不共线

C.若|a|>|b|,则 a>b

D.单位向量的长度为 1

解析:选 D.A 中,因为零向量与任意向量*行,若 b=0,则 a 与 c 不一定*行.B 中,

两向量终点相同,若夹角是 0°或 180°,则共线.C 中,向量是既有大小,又有方向的量,

不可以比较大小.

3.如图,在正六边形 ABCDEF 中,点 O 为其中心,则下列判断错误的是( )

A.A→B=O→C

B.A→B∥D→E

C.|→AD|=|B→E|

D.A→D=F→C

解析:选 D.由题图可知,|→AD|=|F→C|,但A→D、F→C的方向不同,故A→D≠F→C,故选 D.

4.设 O 是△ABC 的外心,则A→O,B→O,C→O是( )

A.相等向量

B.模相等的向量

C.*行向量

D.起点相同的向量

解析:选 B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心,所以点 O 到三个顶点 A,B,C 的

距离相等,所以A→O,B→O,C→O是模相等的向量.

5.若 a 是任一非零向量,b 是单位向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|

=±1;⑤|aa|=b,其中正确的有(

)

A.①④⑤

B.③

C.①②③⑤

D.②③⑤

解析:选 B.①|a|>|b|不正确,a 是任一非零向量,模长是任意的,故不正确;②不一定

有 a∥b,故不正确;③向量的模长是非负数,而向量 a 是非零向量,故|a|>0 正确;④|b|=

a 1,故④不正确;⑤|a|是与

a

同向的单位向量,不一定与

b

同向,故不正确.

6.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,O 为其中心,则|O→A|=________.

解析:因为正方形的对角线长为 2 2,所以|O→A|= 2.

答案: 2 7.如果在一个边长为 5 的正△ABC 中,一个向量所对应的有向线段为A→D(其中 D 在边 BC 上运动),则向量→AD长度的最小值为________. 解析:根据题意,在正△ABC 中,有向线段 AD 的长度最小时,AD 应与边 BC 垂直,有向

线段

AD

长度的最小值为正△ABC

5 的高,为

2

3 .

53 答案: 2

8.已知 A,B,C 是不共线的三点,向量 m 与向量A→B是*行向量,与B→C是共线向量,则 m =________.
解析:因为 A,B,C 不共线, 所以→AB与→BC不共线. 又 m 与A→B,B→C都共线, 所以 m=0. 答案:0

9.在*行四边形 ABCD 中,E,F 分别为边 AD,BC 的中点,如图. (1)在每两点所确定的向量中,写出与向量F→C共线的向量; (2)求证:B→E=F→D. 解:(1)由共线向量满足的条件得与向量→FC共线的向量有:→CF,→BC,→CB,→BF,→FB,→ED,→DE, →AE,→EA,→AD,→DA. (2)证明:在?ABCD 中,AD 綊 BC. 又 E,F 分别为 AD,BC 的中点, 所以 ED 綊 BF, 所以四边形 BFDE 是*行四边形, 所以 BE 綊 FD, 所以→BE=→FD. 10.已知在四边形 ABCD 中,A→B∥C→D,求→AD与→BC分别满足什么条件时,四边形 ABCD 满足 下列情况. (1)四边形 ABCD 是等腰梯形; (2)四边形 ABCD 是*行四边形. 解:(1)|→AD|=|B→C|,且A→D与B→C不*行. 因为→AB∥→CD,所以四边形 ABCD 为梯形或*行四边形.若四边形 ABCD 为等腰梯形,则|→AD |=|→BC|,同时两向量不*行. (2)→AD=→BC(或→AD∥→BC). 若A→D=B→C,即四边形的一组对边*行且相等,此时四边形 ABCD 为*行四边形.
[B 能力提升] 11.在菱形 ABCD 中,∠DAB=120°,则以下说法错误的是 ( ) A.与A→B相等的向量只有一个(不含A→B) B.与A→B的模相等的向量有 9 个(不含→AB) C.→BD的模恰为D→A模的 3倍 D.→CB与→DA不共线 解析:选 D.两向量相等要求长度(模)相等,方向相同.两向量共线只要求方向相同或相 反.D 中→CB,→DA所在直线*行,向量方向相同,故共线. 12.如图,等腰梯形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 P,点 E,F 分别

在腰 AD,BC 上,EF 过点 P,且 EF∥AB,则( )

A.A→D=B→C

B.A→C=B→D

C.P→E=P→F

D.E→P=P→F

解析:选 D.由*面几何知识知,A→D与B→C方向不同,故→AD≠→BC;→AC与→BD方向不同,故A→C≠B→D;

→PE与→PF的模相等而方向相反,故→PE≠→PF;→EP与→PF的模相等且方向相同,所以E→P=P→F.

13.如图,在△ABC 中,∠ACB 的*分线 CD 交 AB 于点 D.若→AC的模为 2,→BC的模为 3,→AD的

模为 1,则D→B的模为________.

解析:如图,延长 CD,过点 A 作 BC 的*行线交 CD 的延长线于点 E. 因为∠ACD=∠BCD=∠AED, 所以|A→C|=|→AE|. 因为△ADE∽△BDC, 所以||A→ D→DB||=||→ B→ACE||=||A→ B→CC||,故|D→B|=32. 答案:32 14.某人从 A 点出发向东走了 5 米到达 B 点,然后改变方向沿东北方向走了 10 2米到达 C 点,到达 C 点后又改变方向向西走了 10 米到达 D 点. (1)作出向量→AB,→BC,→CD; (2)求向量A→D的模. 解:(1)作出向量→AB,→BC,→CD, 如图所示.
(2)由题意得, △BCD 是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC=10 2米,CD=10 米,所以 BD=10 米.△ABD 是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5 米,BD=10 米,所以 AD= 52+102=5 5(米).

所以|A→D|=5 5. [C 拓展探究]
15.如图,A1,A2,…,A8 是⊙O 上的八个等分点,则在以 A1,A2,…,A8 及圆心 O 九个点 中任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径的向量有多少个?模等于半径的 2倍的向量 有多少个?
解:模等于半径的向量只有两类,一类是→OAi(i=1,2,…,8),共 8 个;另一类是A→iO(i =1,2,…,8),也有 8 个.两类共计有 16 个.以 A1,A2,…,A8 中四点为顶点的⊙O 的内接 正方形有两个,一个是正方形 A1A3A5A7,另一个是正方形 A2A4A6A8.在题中所述的向量中,只有 这两个正方形的边(看成有向线段,每一边对应两个向量)的长度为半径的 2倍,故模为半径 的 2倍的向量共有 4×2×2=16(个).




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