华南农业大学 2010/2011 学年第一学期经济数学期中考试试卷
一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1、设函数 f ( x) ? x3 ?1 A. x ? 1
3
，则 f (? x) ? （
3
）
3
B. ? x ? 1
C. ? x ? 1 ） C． x ? 4
D. x ? 1
3
2、函数 y ? ln(4 ? x) 的定义域为 （ A． x ? 3 3、 （ B． x ? 3
D． x ? 4
）中的两个函数相同． B． f ( x) ? lg x2 ， g ( x) ? 2lg x D． f ( x ) ?
A． f ( x) ? x ， g (t ) ? t 2 C． f ( x ) ?
x2 ?1 ， g ( x) ? x ? 1 x ?1
)是奇函数。 B． 10 ? 10
x ?x
sin 2 x ， g ( x) ? 2sin x cos x
4、下列函数中 ( A． sin( x ) ? 4 x
3
C． x ? cos x
2
D．
sin x x
5、 lim(1 ? ) ? （
n n ??
1 n
） B． e
2
A． 1
C． e
?1
D． ? ? ）
6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（ A.
1 sin x ( x ? 0) x
?
B. e ( x ? 0)
x
C. ln x ( x ? 0 ) 7、设 f ( x) ? ? A．连续 C．极限存在但不连续
D.
sin x ( x ? ?) x
）
?e x ? 1 x ? 0 ?x ?1 x?0
，则在 x ? 0 处， f ( x) （
B．左、右极限不存在 D．左、右极限存在但不相等 ）
8、若曲线 f ( x ) 在点 x ? x0 处的切线平行于直线 2 x ? 3 y ? 4 ，则 f ?( x0 ) ? （ A． 2
x
B． 3
C． ） 。
2 3
D． ?
2 3
9、设 f ( x) ? e ，则 [ f (sin x)]? ? （ A． e
x
B． e
sin x
C． cos xe
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sin x
D． sin x e
sin x
10、下列推导正确的是（
） B．若 dy ? f ( x)dx ，则 y? ? f ( x)
A．若 dy ? 0 ，则 y ? 0 C．若 y ? x2 ? y 2 ，则 dy ? (2 x ? 2 y)dx
D．若 y ? f (u ), u ? ?( x) ，则 dy ? f ?(? ( x))dx 二、解答题（每题 10 分，共 50 分） 1、求极限：
（1） lim( n ? 1 ? n )
n ??
1 1? ? 2 （2） lim n ?? 1 1? ? 4
x ? 1 x ?1 ) x?2
1 2n ?1 1 ? n ?1 4 ?
2、求极限： （1） lim
x ?0
sin 2 x sin 3 x
（2） lim(
x ??
1 ? ?(1 ? 2 x) x , x ? 0 3、设 f ( x) ? ? ，求常数 a 的值，使 f ( x ) 在 x ? 0 处连续。 ? x?0 ? x?a
4、已知曲线 y ?
1 在某点处的切线平行于 x 轴，求该切线方程。 1 ? x2
x ，求 y? 1 ? cos x
5、求下列导数或微分 （1）设 y ? （2）设 y ? ln 1 ? x 2 ，求 dy
三、应用题（每题 10 分，共 20 分） 1. 某厂生产某种商品，某年销售量为 100 万件，每批生产需增加准备费 1000 元，而每件产 品的库存费为 0.05 元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完后立即再生产下一批，问应 分几批生产，能使生产准备费与库存费之和最小？ 2.设某商品的需求规律是 P ? D( P) ? 5600 ， 供给规律是 S ( P) ? P ? 10 ? 0 ， 其中，P, D( P) 和 S ( P ) 分别表示此商品的价格、需求量与供给量。 （1）找出均衡价格，并求此时的需求量与供给量； （2）在同一坐标系中画出需求与供给曲线； （3）何时供给曲线过 P ? 轴，该点的经济意义是什么？ （4）求均衡价格时的需求弹性，并说明其经济意义。
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参考答案：
一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1、B 2、B 3、A 4、A 6、C 7、D 8、D 9、C 二、解答题（每题 10 分，共 50 分） 1、 （1） lim( n ? 1 ? n )
n ??
5、C 10、B
? lim
n ??
1 n ?1 ? n
（2 分）
1 1 1 ? ? ? n ?1 2 2 （2） lim n ?? 1 1 1 ? ? ? n ?1 4 4 1 1 1? n 1? n ? lim 2 ? 4 n ?? 1 1 1? 1? 2 4 1 1? n 3 3 ? lim ? 2 ? n ?? 2 1 1? n 2 4
x ? 1 x ?1 ) x?2
x ?1
（3 分）
1 ? lim ? n ?? n
1 ?0 1 1? ?1 n
（5 分）
（5 分）
2、 （1） lim
sin 2 x x ? 0 sin 3 x
（2） lim(
x ??
sin 2 x 2 x 3x ? lim ? ? （2 分） x ?0 2 x 3x sin 3x
? ( x ? 2)? 1 ? ( x ? 2) （2 分） ? lim[1 ? ] x ?? ?( x ? 2)
x?? ? ( x ? 2) 2 sin 2 x 3x ? e ? lim ? lim （4 分） （4 分） 3 x ?0 2 x x ?0 sin 3 x 2 ? e?1 ? （5 分） （5 分） 3 sin 2 x 2sin x cos x 2 cos x 2 lim ? lim ? lim ? 2 x ? 0 sin 3 x x ?0 sin 2 x cos x ? cos 2 x sin x x ?0 2 cos x ? cos 2 x 3
lim
x ?1
3、[解] 由 f ( x ) 在 x ? 0 处连续得， lim f ( x ) ? f (0)
x ?0
（3 分）
而 f (0) ? a ，且
1 ?2 2x
x ?0
lim f ( x) ? lim (1 ? 2 x) ? ?
x ?0
2 2
? e2
x ? 0?
lim f ( x) ? lim ( x ? a) ? a ?
x ?0
（7 分） （10 分）
故 a ? e ，即当 a ? e 时， f ( x ) 在 x ? 0 处连续。
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4、[解] 设切点为 ( x0 , y0 ) ，则曲线 y ?
1 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率为 1 ? x2
（3 分）
y? |x ? x0 ? ?
2 x0 2 2 (1 ? x0 )
由切线与 x 轴平行，可知它们的斜率相等，即
?
2 x0 ?0 2 2 (1 ? x0 )
或
x0 ? 0
（6 分）
此时， y0 ?
1 ? 1 ，故切线方程为 y ? 1 2 1 ? x0
x 1 ? cos x ? x sin x )? ? 1 ? cos x (1 ? cos x) 2
（10 分）
5、 （1） [解] y? ? (
（5 分）
[另解：化隐函数来求] （2）因为 y? ? [ ln(1 ? x )]? ?
2
所以，
1 1 x ? ? (?2 x) ? ? 2 2 1? x 1 ? x2 x ? dx d y? y ? ? dx 1 ? x2
1 2
（3 分） （5 分）
三、1．[解]
设总费用为 y ，共分 x 批生产，由题设可得函数关系
y ? 1000 x ?
1000000 25000 ? 0.05 ? 1000 x ? ,x ?0 2x x 25000 y? ? 1000 ? x2
（5 分） （8 分）
令 y? ? 0 ，得唯一驻点 x ? 5 ，由问题的实际意义，应分 5 批生产，可使两种费用之和最 小。 2．[解] 由题设知，需求函数和供给函数分别为 （10 分）
D( P) ?
5600 ， P
S ( P )? 1 0 ? P
5600 ? 10 ? P ， 即 P
S ( P)
D( P)
（2 分）
（ 1 ） 令 S ( P) ? D( P)， 得
P2 ? 10P ? 5600 ? 0 ，解得
P0 ? 80 （ P0 ? ?70 应舍去）
此时的需求量与供给量分别为
S ( P) ? P ? 10
D( P) ?
5600 P
D( P 0 ) ? S (P 0 ) ? 80 ? 10 ? 70 （4 分）
O
10
70
P
（2）在同一坐标系中需求与供给曲线如下图所示： （6 分） （3）当 P 0 ? 10 时，供给曲线过 P ? 轴，它的经济意义是：若价格低于 10 ，将无人愿
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意供货。 （4）因 D?( P ) ? ?
（8 分）
5600 ，故需求弹性为 P2
? ? ?P
D?( P) 5600 P ? ? P ? (? 2 ) ? ?1 D( P) P 5600
经济意义：均衡价格时，需求量的变动和价格的变动按相同的百分比进行，这时价格的变动 不影响总收入的变动。 （10 分）
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