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2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(11)

发布时间:

华南农业大学 2010/2011 学年第一学期经济数学期中考试试卷
一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1、设函数 f ( x) ? x3 ?1 A. x ? 1
3

,则 f (? x) ? (
3


3

B. ? x ? 1

C. ? x ? 1 ) C. x ? 4

D. x ? 1
3

2、函数 y ? ln(4 ? x) 的定义域为 ( A. x ? 3 3、 ( B. x ? 3

D. x ? 4

)中的两个函数相同. B. f ( x) ? lg x2 , g ( x) ? 2lg x D. f ( x ) ?

A. f ( x) ? x , g (t ) ? t 2 C. f ( x ) ?

x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 x ?1
)是奇函数。 B. 10 ? 10
x ?x

sin 2 x , g ( x) ? 2sin x cos x

4、下列函数中 ( A. sin( x ) ? 4 x
3

C. x ? cos x
2

D.

sin x x

5、 lim(1 ? ) ? (
n n ??

1 n

) B. e
2

A. 1

C. e

?1

D. ? ? )

6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是( A.

1 sin x ( x ? 0) x
?

B. e ( x ? 0)
x

C. ln x ( x ? 0 ) 7、设 f ( x) ? ? A.连续 C.极限存在但不连续

D.

sin x ( x ? ?) x


?e x ? 1 x ? 0 ?x ?1 x?0

,则在 x ? 0 处, f ( x) (

B.左、右极限不存在 D.左、右极限存在但不相等 )

8、若曲线 f ( x ) 在点 x ? x0 处的切线平行于直线 2 x ? 3 y ? 4 ,则 f ?( x0 ) ? ( A. 2
x

B. 3

C. ) 。

2 3

D. ?

2 3

9、设 f ( x) ? e ,则 [ f (sin x)]? ? ( A. e
x

B. e

sin x

C. cos xe
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sin x

D. sin x e

sin x

10、下列推导正确的是(

) B.若 dy ? f ( x)dx ,则 y? ? f ( x)

A.若 dy ? 0 ,则 y ? 0 C.若 y ? x2 ? y 2 ,则 dy ? (2 x ? 2 y)dx

D.若 y ? f (u ), u ? ?( x) ,则 dy ? f ?(? ( x))dx 二、解答题(每题 10 分,共 50 分) 1、求极限:

(1) lim( n ? 1 ? n )
n ??

1 1? ? 2 (2) lim n ?? 1 1? ? 4
x ? 1 x ?1 ) x?2

1 2n ?1 1 ? n ?1 4 ?

2、求极限: (1) lim
x ?0

sin 2 x sin 3 x

(2) lim(
x ??

1 ? ?(1 ? 2 x) x , x ? 0 3、设 f ( x) ? ? ,求常数 a 的值,使 f ( x ) 在 x ? 0 处连续。 ? x?0 ? x?a

4、已知曲线 y ?

1 在某点处的切线平行于 x 轴,求该切线方程。 1 ? x2
x ,求 y? 1 ? cos x

5、求下列导数或微分 (1)设 y ? (2)设 y ? ln 1 ? x 2 ,求 dy

三、应用题(每题 10 分,共 20 分) 1. 某厂生产某种商品,某年销售量为 100 万件,每批生产需增加准备费 1000 元,而每件产 品的库存费为 0.05 元,如果年销售率是均匀的,且上批销售完后立即再生产下一批,问应 分几批生产,能使生产准备费与库存费之和最小? 2.设某商品的需求规律是 P ? D( P) ? 5600 , 供给规律是 S ( P) ? P ? 10 ? 0 , 其中,P, D( P) 和 S ( P ) 分别表示此商品的价格、需求量与供给量。 (1)找出均衡价格,并求此时的需求量与供给量; (2)在同一坐标系中画出需求与供给曲线; (3)何时供给曲线过 P ? 轴,该点的经济意义是什么? (4)求均衡价格时的需求弹性,并说明其经济意义。

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参考答案:
一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1、B 2、B 3、A 4、A 6、C 7、D 8、D 9、C 二、解答题(每题 10 分,共 50 分) 1、 (1) lim( n ? 1 ? n )
n ??

5、C 10、B

? lim

n ??

1 n ?1 ? n

(2 分)

1 1 1 ? ? ? n ?1 2 2 (2) lim n ?? 1 1 1 ? ? ? n ?1 4 4 1 1 1? n 1? n ? lim 2 ? 4 n ?? 1 1 1? 1? 2 4 1 1? n 3 3 ? lim ? 2 ? n ?? 2 1 1? n 2 4
x ? 1 x ?1 ) x?2
x ?1

(3 分)

1 ? lim ? n ?? n

1 ?0 1 1? ?1 n

(5 分)

(5 分)

2、 (1) lim

sin 2 x x ? 0 sin 3 x

(2) lim(
x ??

sin 2 x 2 x 3x ? lim ? ? (2 分) x ?0 2 x 3x sin 3x

? ( x ? 2)? 1 ? ( x ? 2) (2 分) ? lim[1 ? ] x ?? ?( x ? 2)

x?? ? ( x ? 2) 2 sin 2 x 3x ? e ? lim ? lim (4 分) (4 分) 3 x ?0 2 x x ?0 sin 3 x 2 ? e?1 ? (5 分) (5 分) 3 sin 2 x 2sin x cos x 2 cos x 2 lim ? lim ? lim ? 2 x ? 0 sin 3 x x ?0 sin 2 x cos x ? cos 2 x sin x x ?0 2 cos x ? cos 2 x 3

lim

x ?1

3、[解] 由 f ( x ) 在 x ? 0 处连续得, lim f ( x ) ? f (0)
x ?0

(3 分)

而 f (0) ? a ,且
1 ?2 2x

x ?0

lim f ( x) ? lim (1 ? 2 x) ? ?
x ?0
2 2

? e2

x ? 0?

lim f ( x) ? lim ( x ? a) ? a ?
x ?0

(7 分) (10 分)

故 a ? e ,即当 a ? e 时, f ( x ) 在 x ? 0 处连续。

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4、[解] 设切点为 ( x0 , y0 ) ,则曲线 y ?

1 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率为 1 ? x2
(3 分)

y? |x ? x0 ? ?

2 x0 2 2 (1 ? x0 )

由切线与 x 轴平行,可知它们的斜率相等,即

?

2 x0 ?0 2 2 (1 ? x0 )



x0 ? 0

(6 分)

此时, y0 ?

1 ? 1 ,故切线方程为 y ? 1 2 1 ? x0
x 1 ? cos x ? x sin x )? ? 1 ? cos x (1 ? cos x) 2

(10 分)

5、 (1) [解] y? ? (

(5 分)

[另解:化隐函数来求] (2)因为 y? ? [ ln(1 ? x )]? ?
2

所以,

1 1 x ? ? (?2 x) ? ? 2 2 1? x 1 ? x2 x ? dx d y? y ? ? dx 1 ? x2

1 2

(3 分) (5 分)

三、1.[解]

设总费用为 y ,共分 x 批生产,由题设可得函数关系

y ? 1000 x ?

1000000 25000 ? 0.05 ? 1000 x ? ,x ?0 2x x 25000 y? ? 1000 ? x2

(5 分) (8 分)

令 y? ? 0 ,得唯一驻点 x ? 5 ,由问题的实际意义,应分 5 批生产,可使两种费用之和最 小。 2.[解] 由题设知,需求函数和供给函数分别为 (10 分)

D( P) ?

5600 , P

S ( P )? 1 0 ? P
5600 ? 10 ? P , 即 P
S ( P)
D( P)

(2 分)

( 1 ) 令 S ( P) ? D( P), 得

P2 ? 10P ? 5600 ? 0 ,解得

P0 ? 80 ( P0 ? ?70 应舍去)
此时的需求量与供给量分别为

S ( P) ? P ? 10

D( P) ?

5600 P

D( P 0 ) ? S (P 0 ) ? 80 ? 10 ? 70 (4 分)

O

10

70

P

(2)在同一坐标系中需求与供给曲线如下图所示: (6 分) (3)当 P 0 ? 10 时,供给曲线过 P ? 轴,它的经济意义是:若价格低于 10 ,将无人愿
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意供货。 (4)因 D?( P ) ? ?

(8 分)

5600 ,故需求弹性为 P2

? ? ?P

D?( P) 5600 P ? ? P ? (? 2 ) ? ?1 D( P) P 5600

经济意义:均衡价格时,需求量的变动和价格的变动按相同的百分比进行,这时价格的变动 不影响总收入的变动。 (10 分)

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