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甘肃省兰州市2013年中考数学真题试题(A卷

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2013 年兰州市初中毕业生学业考试 数 学(A)
班级: 姓名: 学号:
b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

成绩:

(参考公式:二次函数顶点坐标公式:

一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 4 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1.图 1 是由八个相同的小正方体组合而成的几何体,其左视图是图 2 中的( )

图1

A

B 图2

C

D

2.“兰州市明天降水概率是 30%”,对此消息下列说法中正确的是( A.兰州市明天将有 30%的地区降水 C.兰州市明天降水的可能性较小



B.兰州市明天将有 30%的时间降水 D.兰州市明天肯定不降水 ) D. (-1,-3) )

3.二次函数 y ? 2( x ? 1) 2 ? 3 的图象的顶点坐标是( A. (1,3) B. (-1,3) C. (1,-3)

4. ⊙ O1 的半径为 1cm, ⊙ O2 的半径为 4cm, 圆心距 O1O2 =3cm, 这两圆的位置关系是 ( A.相交 B.内切 C.外切 ) C.第二象限 ) B.菱形的四条边相等 D.等腰梯形的对边相等 D.第一象限 D.内含

5.当 x >0 时,函数 y ? ? A.第四象限

5 的图象在( x

B.第三象限

6.下列命题中是假命题的是( A.*行四边形的对边相等 C.矩形的对边*行且相等

7.某校九年级开展“光盘行动”宣传活动,各班级参加该活动的人数统*峁缦卤恚杂谡庾橥 计数据,下列说法中正确的是( 班级 人数 1班 52 ) 2班 60 3班 62 4班 54 5班 58 6班 62

A.*均数是 58

B.中位数是 58

C.极差是 40

D.众数是 60

8.用配方法解方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 时,配方后所得的方程为(
2

) D. ( x ?1)2 ? 2
2 2 2

A. ( x ? 1)2 ? 0

B. ( x ?1)2 ? 0

C. ( x ? 1)2 ? 2

9.△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a ? b ? c ,那么下列结论正确 的是( ) B. b cos B ? c C. a tan A ? b
2

A. c sin A ? a

D. c tan B ? b
2

10.据调查,2011 年 5 月兰州市的房价均价为 7600 元 / m ,2013 年同期将达到 8200 元 / m , 假设这两年兰州市房价的*均增长率为 x ,根据题意,所列方程为( A. 7600 (1 ? x%)2 ? 8200 C. 7600 (1 ? x) 2 ? 8200 )

B. 7600 (1 ? x%)2 ? 8200 D. 7600 (1 ? x) 2 ? 8200

11. 已知 A(?1, y1 ) ,B(2, y2 ) 两点在双曲线 y ? A. m ? 0 B. m ? 0

3 ? 2m 上, 且 y1 ? y2 , 则 m 的取值范围是 ( x 3 3 C. m ? ? D. m ? ? 2 2



12.如图 3 是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面 AB 宽为 8cm,水的最 大深度为 2cm,则该输水管的半径为( )

图3 A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm )

13.二次函数 y ? ax2 ? b2 ? c(a ? 0) 的图象如图 4 所示,则下列说法不正确的是(

图4 A. b ? 4ac ? 0
2

B. a ? 0

C. c ? 0

D. ? )

b ?0 2a

14.圆锥底面圆的半径为 3cm,其侧面展开图是半圆,则圆锥母线长为( A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm

15.如图 5,动点 P 从点 A 出发,沿线段 AB 运动至点 B 后,立即按原路返回,点 P 在运动过程 中速度不变,则以点 B 为圆心,线段 BP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 的函数图象 大致为图 6 中的( )

图 5 D.

A.

B.

C.

图6

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
16.某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为兰州国际马拉松赛的志愿者,则选出一 男一女的概率是 .

2 17 . 若 b ? 1 ? a ? 4 ? 0 , 且 一 元 二 次 方 程 kx ? ax ? b ? 0 有 实 数 根 , 则 k 的 取 值 范 围





18.如图 7,量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合,其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合,射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转,CP 与量角器的半圆弧 交于点 E,第 24 秒时,点 E 在量角器上对应的读数是 90° P 60° E 30A ° A A(N) A A A A 120° 150° 度.

B A O A A A A C A 图7 A A A A A A A A A A 19.如图 8,在直角坐标系中,已知点 A(?3,0) 、 B(0,4) ,对 ?OAB 连续作旋转变换,依次得到 A A . △ 、△ 、△ 、△ ,…,则△ 的直角顶点的坐标为
1 2 3 4 2013

图8 20.如图 9,以扇形 OAB 的顶点 O 为原点,半径 OB 所在的直线为 x 轴,建立*面直角坐标系, 点 B 的坐标为(2,0) ,若抛物线 y ? 取值范围是 .

1 2 x ? k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点,则实数 k 的 2

图9

三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)
21. (本小题满分 10 分,每题 5 分) (1)计算: (?1)2013 ? 2?1 ? sin 30? ? (? - 3.14)0 ; 解:

(2)解方程: x ? 3x ? 1 ? 0 .
2

解:

22. (本小题满分 5 分)如图 10,两条公路 OA 和 OB 相交于 O 点,在 ?AOB 的内部有工厂 C 和

D ,现要修建一个货站 P ,使货站 P 到两条公路 OA 、 OB 的距离相等,且到两工厂 C 、 D 的
距离相等,用尺规作出货站 P 的位置. (要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论. )

图 10 解:

23. (本小题满分 6 分)在兰州市开展的“体育、艺术 2+1”活动中,某校根据实际情况,决定主 要开设 A :乒乓球, B :篮球, C :跑步, D :跳绳这四种运动项目.为了解学生喜欢哪一种 项目, 随机抽取了部分学生进行调查, 并将调查结果绘制成如图 11 的条形统计图和扇形统计图. 请 你结合图中信息解答下列问题:

图 11 ( 1 )样本中喜欢 B 项目的人数百分比是 是 ; ,其所在扇形统计图中的圆心角的度数

(2)把条形统计图补充完整; (3)已知该校有 1000 人,根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少. 解:

24. (本小题满分 8 分)如图 12,在活动课上,小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高 度.已知小明的眼睛与地面的距离( AB )是 1.7m,他调整自己的位置,设法使得三角板的一 条直角边保持水*,且斜边与旗杆顶端 M 在同一条直线上,测得旗杆顶端 M 仰角为 45° ;小红 的眼睛与地面的距离( CD )是 1.5m,用同样的方法测得旗杆顶端 M 的仰角为 30° .两人相距 28 米且位于旗杆两侧(点 B 、 N 、 D 在同一条直线上) .求出旗杆 MN 的高度. (参考数据:

2 ? 1.4 , 3 ? 1.7 ,结果保留整数. )

图 12 解:

25. (本小题满分 9 分)如图 13,已知反比例函数 y1 ? 于点 A(1,4) 和点 B(m,?2) . (1)求这两个函数的表达式; 解:

k 的图象与一次函数 y 2 ? ax ? b 的图象交 x



(2)观察图象,当 x ? 0 时,直接写出 y1 ? y2 时自变量 x 的取值范围; 解:

(3)如果点 C 与点 A 关于 x 轴对称,求 ?ABC 的面积.

图 13 解:

26. (本小题满分 10 分)如图 14①,在 ?OAB 中, ?OAB =90° , ?AOB =30° , OB =8.以 OB 为边,在 ?OAB 外作等边三角形 OBC , D 是 OB 的中点,连接 AD 并延长交 OC 于 E . (1)求证:四边形 ABCE 是*行四边形; 证明:

(2)如图 14②,将图 1 中的四边形 ABCO 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 FG ,求 OG 的 长.

① 图 14 解:



27. (本小题满分 10 分)如图 15,直线 MN 交⊙O 于 A、B 两点,AC 是直径,AD *分∠CAM 交⊙O 于 D,过 D 作 DE⊥MN 于 E. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; 证明:

(2)若 DE=6cm,AE=3cm,求⊙O 的半径.

图 15 解:

28. (本小题满分 12 分)如图 16,在*面直角坐标系 xOy 中,A、B 为 x 轴上两点,C、D 为 y 轴 上的两点,经过点 A、C、B 的抛物线的一部分 C1 与经过点 A、D、B 的抛物线的一部分 C 2 组合

成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点 C 的坐标为 (0,? ) ,点 M 是抛物线

3 2

C 2 : y ? mx2 ? 2mx? 3m(m ? 0) 的顶点.
(1)求 A、B 两点的坐标; 解:

(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点 P,使得△ PBC 的面积最大?若存在,求出△ PBC 面积 的最大值;若不存在,请说明理由; 解:

(3)当△ BDM 为直角三角形时,求 m 的值.

图 16 解:

参考答案
一、 题号 答案 题号 1 B 11 2 C 12 3 A 13 4 B 14 5 A 15 6 D 7 A 8 D 9 A 10 C

答案 二、16.

D

C

D 18. 144

B

B 20.

3 5

17.

k ≤4 且 k ≠0

19. (8052,0)

?2? k ?

1 2

三、21.解: (1)原式= ? 1 ? (2)关于 x 的方程 x
2

1 1 ? ?1 ? 0 . 2 2

? 3x ? 1 ? 0 的二次项系数 a ? 1 ,一次项系数 b ? ?3 ,常数项 c ? ?1 ,则

x?

? b ? b 2 ? 4ac 3 ? 13 , ? 2a 2
? 3 ? 13 3 ? 13 , x1 ? . 2 2

解得 x1

22.解:如答图 1 所示,作 CD 的垂直*分线,∠AOB 的角*分线的交点 P 即为所求.

答图 1 23.解: (1)20%;72° (2)调查的总人数是 44÷ 44%=100(人) ,则喜欢 B 的人数是:100× 20%=20(人),补全的统计图如答图 2.

答图 2 (3)全校喜欢乒乓球的人数是 1000× 44%=440(人) . 24.解:过点 A 作 AE⊥MN 于 E,过点 C 作 CF⊥MN 于 F, 则 EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2(m) , 在 Rt△AEM 中,∵∠MAE =45°,∴AE=ME. 设 AE=ME= x m,则 MF=( x +0.2)m,FC=(28- x )m. 在 Rt△MFC 中,∵∠MFC=90° ,∠MCF=30° ,∴MF=CF?tan∠MCF, ∴ x +0.2=

3 (28- x ) ,解得 x ≈10.0, 3

∴MN=ME+EN≈10+1.7≈12(米) . 答:旗杆 MN 的高度约为 12 米. 25.解: (1)∵函数

y1 ?

k k 的图象过点 A(1,4) ,即 4 ? , x 1

∴k ∴m

? 4 ,即 y1 ?

4 4 ,又∵点 B(m,?2) 在 y1 ? 上, x x

? ?2 ,∴ B(?2,?2) , y2 ? ax ? b .

又∵一次函数的图象过 A、B 两点,即 ?

?a ? b ? 4, ?? 2a ? b ? ?2,

解得 ?

?a ? 2, ?b ? 2.



y2 ? 2x ? 2 .
y1 ? 4 , y2 ? 2x ? 2 . x

综上可得

(2)要使 y1 (3)

? y2 ,即函数 y1 的图象总在函数 y2 的图象上方,∴ 0 ? x ? 1 .

答图 3 由答图 3 及题意可得:AC=8,BD=3,∴△ABC 的面积 S ?ABC = 26.证明: (1)在 Rt△OAB 中,D 为 OB 的中点,∴DO=DA, ∴∠DAO=∠DOA =30°, ∠EOA=90°,∴∠AEO =60°. 又∵△OBC 为等边三角形,∴∠BCO=∠AEO =60°,∴BC∥AE. ∵∠BAO=∠COA =90°,∴OC∥AB, ∴四边形 ABCE 是*行四边形. (2)解:设 OG= x ,由折叠可知 AG=GC=8- x , 在 Rt△ABO 中,∵∠OAB =90°,∠AOB =30°,OB=8,

1 2

AC×BD=

1 2

× 8× 3=12.

∴OA=OB·cos30°=8×

3 =4 3. 2

在 Rt△OAG 中, OG

2

? OA2 ? AG2 ,

x 2 ? (4 3)2 ? (8 ? x)2 ,解得 x ? 1 ,
∴OG=1. 27.(1)证明:如答图 4 所示,连接 OD. ∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA. ∵∠OAD=∠DAE,∴∠ODA=∠DAE. ∴DO∥MN. ∵DE⊥MN,∴∠ODE=∠DEM=90°.

即 OD⊥DE. ∵D 在⊙O 上,∴DE 是⊙O 的切线.

答图 4 (2)解:连接 CD. ∵∠AED=90°,DE=6,AE=3, ∴

AD ? DE2 ? AE2 ? 62 ? 32 ? 3 5 .

∵AC 是⊙O 的直径,∴∠ADC=∠AED=90°. ∵∠CAD=∠DAE,∴△ACD∽△ADE.



AD AC 3 5 AC ? .∴ ? AE AD 3 3 5



则 AC=15(cm) . ∴⊙O 的半径是 7.5cm. 28.解: (1)令
2 y ? 0 ,则 mx ? 2mx ? 3m ? 0 ,

∵ m ? 0 ,∴ x ∴

2

? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? ?1 , x2 ? 3 ,

A(?1,0) 、 B(3,0) .

(2)存在. ∵设抛物线 C1 的表达式为

3 1 y ? a( x ? 1)(x ? 3)(a ? 0) ,把 C (0,? ) 代入,可得 a ? , 2 2

1 2 3 x ?x? . 2 2 1 2 2 设 P ( n, n ? n ? ) , 2 3
∴ C1 :

y?

3 3 27 , ? S?POC ? S?BOP ? S?BOC = ? (n ? ) 2 ? 4 2 16 3 3 27 ∵ a ? ? ? 0 , ∴当 n ? 时, S ?PBC 最大值为 . 2 16 4
∴ S?PBC (3)由

C2 可 知 : B(3,0) , D(0,?3m)



M (1,?4m)



BD2 ? 9m2 ? 9 , BM 2 ? 16m2 ? 4 ,

DM 2 ? m 2 ? 1 ,
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况. 当∠BMD=90°时, BM ? DM
2 2

? BD 2 , 16m ? 4 ? m ? 1 ? 9m ? 9 ,
2 2 2

解得

m1 ? ?

2 2 m2 ? 2 , 2 (舍去);
2

当∠BDM=90°时, BD 解得 m1

? DM 2 ? BM 2
(舍去) .

, 9m

2

? 9 ? m2 ? 1 ? 16m2 ? 4 ,

? ?1 , m2 ? 1
? ?1 , m ? ?

综上 m

2 2

时,△BDM 为直角三角形.




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