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数学函数求值域的好方法

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  一.观察法

  通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。

  例1求函数y=3+√***2-3x***的值域。

  点拨:根据算术*方根的性质,先求出√***2-3x***的值域。

  解:由算术*方根的性质,知√***2-3x***≥0,故3+√***2-3x***≥3。∴函数的值域为{y?y≥3}.

  点评:算术*方根具有双重非负性,即:***1***被开方数的非负性,***2***值的非负性。

  本题通过直接观察算术*方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。练*:求函数y=[x]***0≤x≤5***的值域。***答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}***

  二.反函数法

  当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。

  例2求函数y=***x+1***/***x+2***的值域。

  点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。

  解:显然函数y=***x+1***/***x+2***的反函数为:x=***1-2y***/***y-1***,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y?y≠1,y∈R}。

  点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

  这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。练*:求函数y=***10x+10-x***/***10x-10-x***的值域。***答案:函数的值域为{y?y1}***

  三.配方法

  当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

  例3:求函数y=√***-x2+x+2***的值域。

  点拨:将被开方数配方成完全*方数,利用二次函数的最值求。

  解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-***x-1/2***2+9/4∈[0,9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

  点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

  配方法是数学的一种重要的思想方法。练*:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.***答案:值域为{y?y≤3}***

  四.判别式法

  若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

  例4求函数y=***2x2-2x+3***/***x2-x+1***的值域。

  点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。

  解:将上式化为***y-2***x2-***y-2***x+***y-3***=0*******当y≠2时,由Δ=***y-2***2-4***y-2***x+***y-3***≥0,解得:2当y=2时,方程*******无解。∴函数的值域为2点评:把函数关系化为二次方程F***x,y***=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=***ax2+bx+c***/***dx2+ex+f***及y=ax+b±√***cx2+dx+e***的函数。

  练*:求函数y=1/***2x2-3x+1***的值域。***答案:值域为y≤-8或y0***。

  五.最值法

  对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f***x***,可求出y=f***x***在区间[a,b]内的极值,并与边界值f***a***.f***b***作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

  例5已知***2x2-x-3***/***3x2+x+1***≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

  点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。

  解:∵3x2+x+10,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x***-1≤x≤3/2***,∴z=-***x-2***2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。∴函数z的值域为{z?-5≤z≤15/4}。

  点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。

  练*:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为******A.***-∞,+∞***B.[-7,+∞]C.[0,+∞***D.[-5,+∞***;***答案:D***。

  六.图象法

  通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。

  例6求函数y=?x+1?+√***x-2***2的值域。点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。

  解:原函数化为-2x+1***x≤1***y=3***-12***显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。

  点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

  七.单调法

  利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

  例7求函数y=4x-√1-3x***x≤1/3***的值域。

  点拨:由已知的函数是复合函数,即g***x***=-√1-3x,y=f***x***+g***x***,其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。

  解:设f***x***=4x,g***x***=-√1-3x,***x≤1/3***,易知它们在定义域内为增函数,从而y=f***x***+g***x***=4x-√1-3x在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f***1/3***+g***1/3***=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}。

  点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。

  练*:求函数y=3+√4-x的值域。***答案:{y|y≥3}***

  八.换元法

  以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。

  例8求函数y=x-3+√2x+1的值域。

  点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域。

  解:设t=√2x+1***t≥0***,则x=1/2***t2-1***。于是y=1/2***t2-1***-3+t=1/2***t+1***2-4≥1/2-4=-7/2.所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。

  点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的.值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

  练*:求函数y=√x-1?x的值域。***答案:{y|y≤-3/4}

  九.构造法

  根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。

  例9求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

  点拨:将原函数变形,构造*面图形,由几何知识,确定出函数的值域。

  解:原函数变形为f***x***=√***x+2***2+1+√***2-x***2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√***2-x***2+22,KC=√***x+2***2+1。由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的值域为{y|y≥5}。

  点评:对于形如函数y=√x2+a±√***c-x***2+b***a,b,c均为正数***,均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

  练*:求函数y=√x2+9+√***5-x***2+4的值域。***答案:{y|y≥5√2}***

  十.比例法

  对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。

  例10已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

  点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。

  解:由3x-4y-5=0变形得,***x3***/4=***y-1***/3=k***k为参数***∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=***3+4k***2+***14+3k***2=***5k+3***2+1。当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1。函数的值域为{z|z≥1}.

  点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。

  练*:已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f***x,y***=2x2-y的值域。***答案:{f***x,y***|f***x,y***≥1}***

  十一.利用多项式的除法

  例11求函数y=***3x+2***/***x+1***的值域。

  点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

  解:y=***3x+2***/***x+1***=3-1/***x+1***。∵1/***x+1***≠0,故y≠3。∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

  点评:对于形如y=***ax+b***/***cx+d***的形式的函数均可利用这种方法。

  练*:求函数y=***x2-1***/***x-1******x≠1***的值域。***答案:y≠2***

  十二.不等式法

  例12求函数Y=3x/***3x+1***的值域。

  点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。

  解:易求得原函数的反函数为y=log3[x/***1-x***],由对数函数的定义知x/***1-x***0,1-x≠0。解得:01或y



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